זהויות טריגונומטריות – מדריך מלא להבנה ושימוש

טריגונומטריה היא אחד מהתחומים המרכזיים במתמטיקה, עם יישומים נרחבים בפיזיקה, הנדסה, מדעי המחשב ועוד. זהויות טריגונומטריות מהוות כלי רב-עוצמה שמאפשר פתרון בעיות בצורה יעילה ומהירה. במאמר זה נעמיק בכל ההיבטים של זהויות טריגונומטריות, משימושים בסיסיים ועד יישומים מורכבים.

מבוא לטריגונומטריה

טריגונומטריה היא ענף במתמטיקה שחוקר יחסים בין זוויות ואורכים במשולשים. הכלים שלה מיושמים בתחומים רבים כמו אדריכלות, אסטרונומיה, ועיבוד אותות. הבנת זהויות טריגונומטריות היא הצעד הראשון להצלחה בכל אחד מהתחומים הללו.

• • 1. זהויות בסיסיות

    זהות פיתגורית

    • sin⁡2(θ)+cos⁡2(θ)=1\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1sin2(θ)+cos2(θ)=1
    • 1+tan⁡2(θ)=sec⁡2(θ)1 + \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta)1+tan2(θ)=sec2(θ)
    • 1+cot⁡2(θ)=csc⁡2(θ)1 + \cot^2(\theta) = \csc^2(\theta)1+cot2(θ)=csc2(θ)

    ---

    2. פונקציות טריגונומטריות ויחסים בסיסיים

    פונקציה	נוסחה
    סינוס ($\sin (\theta )$)	ניצב מוליתר\frac{\text{ניצב מול}}{\text{יתר}}יתרניצב מול​
    קוסינוס ($\cos (\theta )$)	ניצב לידיתר\frac{\text{ניצב ליד}}{\text{יתר}}יתרניצב ליד​
    טנגנס ($\tan (\theta )$)	ניצב מולניצב ליד=sin⁡(θ)cos⁡(θ)\frac{\text{ניצב מול}}{\text{ניצב ליד}} = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}ניצב לידניצב מול​=cos(θ)sin(θ)​
    קוטנגנס ($\cot (\theta )$)	ניצב לידניצב מול=cos⁡(θ)sin⁡(θ)\frac{\text{ניצב ליד}}{\text{ניצב מול}} = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}ניצב מולניצב ליד​=sin(θ)cos(θ)​
    סקאנט ($\sec (\theta )$)	1cos⁡(θ)\frac{1}{\cos(\theta)}cos(θ)1​
    קוסקאנט ($\csc (\theta )$)	1sin⁡(θ)\frac{1}{\sin(\theta)}sin(θ)1​

    ---

    3. זהויות סכום והפרש זוויות

    • סינוס:

      $$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin (\alpha )\cos (\beta )\pm \cos (\alpha )\sin (\beta )$$

    • קוסינוס:

      $$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos (\alpha )\cos (\beta )\mp \sin (\alpha )\sin (\beta )$$

    • טנגנס:

      tan⁡(α±β)=tan⁡(α)±tan⁡(β)1∓tan⁡(α)tan⁡(β)\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan(\alpha) \pm \tan(\beta)}{1 \mp \tan(\alpha)\tan(\beta)}tan(α±β)=1∓tan(α)tan(β)tan(α)±tan(β)​

    ---

    4. זהויות זוויות כפולות

    • סינוס:

      $$\sin (2\theta )=2\sin (\theta )\cos (\theta )$$

    • קוסינוס:

      cos⁡(2θ)=cos⁡2(θ)−sin⁡2(θ)\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) – \sin^2(\theta)cos(2θ)=cos2(θ)−sin2(θ)או

      cos⁡(2θ)=2cos⁡2(θ)−1\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) – 1cos(2θ)=2cos2(θ)−1או

      cos⁡(2θ)=1−2sin⁡2(θ)\cos(2\theta) = 1 – 2\sin^2(\theta)cos(2θ)=1−2sin2(θ)

    • טנגנס:

      tan⁡(2θ)=2tan⁡(θ)1−tan⁡2(θ)\tan(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1 – \tan^2(\theta)}tan(2θ)=1−tan2(θ)2tan(θ)​

    ---

    5. זהויות זוויות מחצית

    • סינוס:

      sin⁡(θ2)=±1−cos⁡(θ)2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 – \cos(\theta)}{2}}sin(2θ​)=±21−cos(θ)​​

    • קוסינוס:

      cos⁡(θ2)=±1+cos⁡(θ)2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos(\theta)}{2}}cos(2θ​)=±21+cos(θ)​​

    • טנגנס:

      tan⁡(θ2)=sin⁡(θ)1+cos⁡(θ)\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin(\theta)}{1 + \cos(\theta)}tan(2θ​)=1+cos(θ)sin(θ)​או

      tan⁡(θ2)=1−cos⁡(θ)sin⁡(θ)\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 – \cos(\theta)}{\sin(\theta)}tan(2θ​)=sin(θ)1−cos(θ)​

    ---

    6. זהויות הופכיות

    פונקציה	הופכית	נוסחה
    סינוס ($\sin (\theta )$)	קוסקאנט ($\csc (\theta )$)	csc⁡(θ)=1sin⁡(θ)\csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)}csc(θ)=sin(θ)1​
    קוסינוס ($\cos (\theta )$)	סקאנט ($\sec (\theta )$)	sec⁡(θ)=1cos⁡(θ)\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)}sec(θ)=cos(θ)1​
    טנגנס ($\tan (\theta )$)	קוטנגנס ($\cot (\theta )$)	cot⁡(θ)=1tan⁡(θ)\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)}cot(θ)=tan(θ)1​

    ---

    7. זהויות מחזוריות

    פונקציות טריגונומטריות הן מחזוריות, ולכן:

    • $\sin (\theta +2\pi )=\sin (\theta )$
    • $\cos (\theta +2\pi )=\cos (\theta )$
    • $\tan (\theta +\pi )=\tan (\theta )$

    ---

    8. זהויות טרנספורמציה

    • מעבר מסינוס לקוסינוס: sin⁡(θ)=cos⁡(π2−θ)\sin(\theta) = \cos\left(\frac{\pi}{2} – \theta\right)sin(θ)=cos(2π​−θ)
    • מעבר מקוסינוס לסינוס: cos⁡(θ)=sin⁡(π2−θ)\cos(\theta) = \sin\left(\frac{\pi}{2} – \theta\right)cos(θ)=sin(2π​−θ)

    ---

    9. נוסחת אוילר

    נוסחת אוילר מקשרת בין פונקציות טריגונומטריות ומספרים מרוכבים:

    eiθ=cos⁡(θ)+isin⁡(θ)e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)eiθ=cos(θ)+isin(θ)

סיכום ותרגול

הבנת הזהויות הטריגונומטריות והשימושים שלהן עוזרים לפשט תהליכים מורכבים. מומלץ לתרגל בעיות המשלבות זהויות אלו כדי לשלוט היטב בנושא.

שאלות נפוצות (FAQs)

1. למה משמשות זהויות טריגונומטריות?
   • הן משמשות לפתרון בעיות גיאומטריות, פיזיקליות ואלגוריתמיות.
2. מהי הזהות הבסיסית ביותר?
   • sin⁡2(θ)+cos⁡2(θ)=1\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1sin2(θ)+cos2(θ)=1.
3. איך זוכרים את זהויות סכום הזוויות?
   • ניתן להשתמש במעברים לוגיים או תרשימים כעזר.
4. האם יש יישומים לזהויות בחיים האמיתיים?
   • כן, בתחומים כמו בנייה, הנדסה, ומדעי המחשב.
5. מה הקשר בין טריגונומטריה למספרים מרוכבים?
   • זהויות עוזרות לקשר בין פונקציות טריגונומטריות לאקספוננטיות באמצעות נוסחת אוילר.
6. מהי הזהות הפיתגורית עבור $\tan (\theta )$?
   • 1+tan⁡2(θ)=sec⁡2(θ)1 + \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta)1+tan2(θ)=sec2(θ).